Поле двух жил · интерактивная физическая модель

Расчёт поля…

Поле в середине зазора

—

Точка P на рисунке

Электростатическая ёмкость C′

—

На метр глубины плоской модели

Ток утечки I_Ω · оценка

—

Отдельное решение задачи проводимости

Ориентир Пашена U_P

—

Для однородного поля, не порог этих жил

ЦветЭквипотенциалиАвтошкала

Маркеры J

Жилы с изоляцией∇ · (ε∇φ) = 0

Наведите курсор или коснитесь точки: координаты, материал, φ и |E|.

Решение уравнения поля

10² В/м|E| · логарифмический цвет10⁷ В/м

Стрелки — направление E, не движение электронов. Поле есть и внутри изоляции.

Изоляция не экранирует поле. Она поляризуется и перераспределяет его. Проницаемость εᵣ влияет на поле даже при нулевом токе проводимости.

Сколько тока пройдёт через воздух?

Расчёт при заданной эффективной проводимости. Это не универсальная вольт-амперная характеристика воздуха.

I_Ω = σ_air · K · b · U

По обеим осям логарифмический масштаб. Штриховая кривая — результат омической модели, не измерение.

Реальный ток зависит от ионизации, влажности, движения воздуха и состояния поверхностей. Модель не рассчитывает ионное насыщение, корону, стримеры или дугу.

Проводимость воздуха σ 3 фСм/м3 × 10⁻¹⁵ См/м — выбранный пример из измерений комнатного воздуха [4], не константа воздуха.Идеальный воздух: σ = 0, I = 0

Глубина плоской модели b 1 ммНе диаметр круглой жилы. I масштабируется линейно с b.

Давление p, кПа

Температура T, K

Вторичная эмиссия γ

p, T и γ изменяют только справочный ориентир Пашена. σ задаётся отдельно.

Сравнить с пределом источника

Сопротивление источника R_s 1 МОм

При образовании проводящего канала ток нельзя определить только по U.

Уравнения, физические допущения и границы применимости

Это вычисляемая плоская модель, а не рисунок поля точечных зарядов. Металл представлен двумя конечными полосами с полукруглыми концами. Изоляция покрывает боковые поверхности и дальние торцы; только концевые участки открыты. Геометрия не меняется вдоль оси z. Это учебный аналог продольного сечения жил, а не точное трёхмерное решение для круглого кабеля.

1. Электростатика: изоляция поляризуется

E = −∇φ; D = ε₀εᵣE
∇ · (ε₀εᵣ∇φ) = 0
φ₊ = U; φ₋ = 0
φ₁ = φ₂; E_t,1 = E_t,2
ε₁E_n,1 = ε₂E_n,2

Воздух имеет εᵣ = 1, оболочка — выбранное εᵣ. Свободный объёмный заряд отсутствует. На границе диэлектриков в этом режиме нет свободного поверхностного заряда. Связанные заряды поляризации учтены через εᵣ [1, 2]. Поэтому нормальная компонента E меняется на границе. Поле внутри идеального металла равно нулю.

Это равновесная модель идеальных диэлектриков, либо приближение после быстрой поляризации, но до значительного перераспределения свободного заряда из-за утечки. Переходный процесс зарядки здесь не рассчитывается.

2. Установившаяся утечка: другая задача

J = σ_airE; ∇ · J = 0
∇²φ = 0 в воздухе
φ = U или 0 на открытом металле
n · J = 0 на поверхности оболочки
I = b ∫_{открытый металл} J · n dℓ

Оболочка непроводящая: σ_ins = 0. Ток не проходит сквозь неё. Поле в воздухе рассчитывается заново, а не умножением электростатической картинки на σ. Свободный поверхностный заряд успел накопиться на оболочке; условие непрерывности Dₙ уже нельзя механически переносить из первого режима [3].

Поле внутри идеальной оболочки во втором режиме не решается и не показано: это не утверждение, что оно нулевое. При этих допущениях εᵣ не меняет установившийся ток через воздух. Ток, посчитанный справа, относится именно ко второму режиму, даже когда открыт первый.

3. Из двумерного результата в ток и ёмкость

u = φ/U − ½; u₊ = +½; u₋ = −½
K = ∫ (−∇u) · n dℓ [безразмерно, задача проводимости]
G′ = σ_airK [См/м]; I_Ω = G′bU [А]
C′ = Q′/U [Ф/м]; W′ = ½C′U² [Дж/м]

Штрих означает «на единицу глубины z», а не на метр длины реального кабеля. Поток интегрируется по открытой поверхности электрода с нормалью из металла в воздух. В электростатике заряд интегрируется по всему электроду, включая металл под изоляцией. Значение b задаёт глубину идеализированной экструдированной геометрии; его нельзя просто отождествить с диаметром круглого провода. У двух задач разные коэффициенты потока.

4. Воздух не является универсальным омическим резистором

Омическая кривая отвечает на строго определённый вопрос: какой был бы ток для однородной постоянной эффективной σ при данной геометрии. Начальное значение σ = 3 × 10⁻¹⁵ См/м взято как пример измеренной проводимости комнатного воздуха [4]. Природные ионы рождаются, рекомбинируют и удаляются электродами; эффективная σ может зависеть от напряжения и условий. Поэтому даже ниже ориентира пробоя эта кривая — условная оценка, а не гарантированный ток. Поверхностная утечка по загрязнению и влаге отсутствует в модели.

5. Пробой: справочный ориентир, без вымышленной дуги

N = p/(k_BT); α(E) = A_NN exp(−B_NN/E)
U_P = B_NNd / ln[A_NNd / ln(1 + 1/γ)]
A_N = 1,04 × 10⁻²⁰ м²
B_N = 596,8 × 10⁻²¹ В·м²; γ = 0,01 по умолчанию

Использована плотностная аппроксимация эффективного коэффициента Таунсенда для земной атмосферы из таблицы 1 работы [5] и её формула для плоских электродов. Коэффициенты эмпирические/аппроксимационные, а γ — явно заданный параметр поверхности. Полученное U_P относится к однородному полю плоского промежутка длиной d; это не вычисленный порог пробоя показанных закруглённых жил. Неоднородность поля, корона, накопление объёмного заряда, шероховатость, влажность и стримерная стадия требуют иной модели. Справа от U_P омическая экстраполяция специально приглушена. Реальная неомичность может возникать и раньше.

Дополнительная линия U/R_s — предел установившейся подачи тока от резистивного источника при нулевом падении напряжения в канале, не ток дуги. Импульс разряда ранее заряженной ёмкости этим пределом не ограничивается. Модель не предназначена для выбора безопасных зазоров или проведения опытов с высоким напряжением.

6. Что именно решает программа

Метод конечных объёмов на квадратной сетке, неизвестные в центрах ячеек, проводники — условия Дирихле. На грани двух диэлектриков используется гармоническое среднее a_ij = 2ε_iε_j/(ε_i + ε_j); до грани металла расстояние равно половине шага. Уравнение каждой неизвестной ячейки: Σ a_ij(u_i − u_j) = 0. В задаче проводимости грани оболочки имеют нулевой поток. Симметричная положительно определённая система решается методом сопряжённых градиентов с диагональным предобуславливанием в Float64.

Базовая область 80 × 60 мм; на её внешней границе задан нулевой нормальный поток. Это искусственное усечение открытого пространства, не заземлённый экран. Кнопка «Вся область» показывает её границы. Влияние усечения отдельно проверено расширением области. Ступенчатое представление круглых поверхностей на сетке ограничивает точность, особенно локального максимума поля у края оболочки. Показанные значения — не метрологически точные характеристики реального кабеля.

Поле восстановлено из консервативных потоков на гранях, с односторонним учётом материала. Линии получаются интегрированием dr/ds = E/|E| методом средней точки с малым шагом; начальные точки выбираются по потоку с положительного электрода. На границе диэлектриков интерполяция E не смешивает значения разных материалов. Количество линий — графический выбор; сравнивать величину |E| по плотности линий в разных диэлектриках нельзя. Цветовая шкала показывает численное |E|.

При изменении только U используется точная линейность этих двух моделей: E ∝ U, Q ∝ U, W ∝ U². Повторное решение геометрии не требуется. При U = 0 исчезают поле, линии, заряд и ток. Движущиеся маркеры в режиме утечки показывают лишь направление условного положительного тока, не скорость реальных ионов.

Проверки решения и точность

Аналитические тесты выполнены тем же численным ядром. Проверки сгущения сетки и расширения области — отдельные расчёты для начальной геометрии. Малая невязка решателя не равна малой погрешности реальной физической модели.

Дополнительно для каждого нового решения проверяются невязка, баланс потоков и энергетическое тождество.

Сценарий объяснения студентам и источники

Короткий ход демонстрации

Начните с 0 В. Линий и тока нет. Поставьте 230 В: между разомкнутыми концами появилось поле, хотя путь по металлу не замкнут. Переключите воздух в идеальный режим σ = 0: поле остаётся, ток проводимости строго равен нулю.

Включите сравнение и меняйте εᵣ. При εᵣ = 1 оболочка электростатически неотличима от воздуха. При εᵣ > 1 поле перераспределяется, а ёмкость меняется. Это поляризация, а не металлическое экранирование. Наведите курсор внутрь оболочки и покажите ненулевое поле.

Перейдите к установившейся утечке. Теперь линии J обходят непроводящую оболочку и приходят только к открытым участкам металла. Меняйте длину зачистки и зазор; сравните ток с вариантом без оболочки. Обратите внимание: εᵣ уже не управляет установившимся током при выбранных допущениях.

Завершите большим напряжением. Штриховая омическая оценка не превращается по волшебству в точную модель искры. Обсудите отличие поля до разряда, условий возникновения разряда и тока после появления проводящего канала.

Источники уравнений и параметров

[1] H. A. Haus, J. R. Melcher. Electromagnetic Fields and Energy, §6.2: Laws and Continuity Conditions with Polarization. MIT. Поле D, поляризация и граничные условия.
[2] Там же, §6.4: Polarization Constitutive Laws. Линейный диэлектрик и ε.
[3] Там же, §7.1: Conduction Constitutive Laws и §7.9: Charge Relaxation in Uniform and Piece-Wise Uniform Systems. Омическая модель, накопление поверхностного заряда и различие режимов.
[4] K. L. Aplin. Aspirated capacitor measurements of air conductivity and ion mobility spectra (2005). Пример измерения σ = 3 фСм/м в комнатном воздухе; значение не универсально.
[5] J. A. Riousset et al. A generalized Townsend’s theory for Paschen curves in planar, cylindrical, and spherical geometries (2022), таблица 1, уравнения (7a), (19). Плотностные коэффициенты и геометрические ограничения критерия.
[6] H. Hensel, C. Joergens, M. Clemens. Simulation of Permittivity and Conductivity Graded Materials for HVDC GIL for Different Voltage Forms (2023). Дополнительный пример различия ёмкостного поля и установившегося поля проводимости при DC.